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Die `!legendresche Chi-Funktion`! (nach `F33f`_`[Adrien-Marie Legendre`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adrien-Marie_Legendre]`_`f) ist eine `F33f`_`[spezielle Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spezielle_Funktion]`_`f in der `F33f`_`[Mathematik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Mathematik]`_`f.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Spezielle Werte`#spezielle-werte]`_`f

• `F0af`_`[Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins`#beweis-f-r-den-chi-2-funktionswert-von-eins]`_`f

• `F0af`_`[Theorem für tangentielle Gegenstücke`#theorem-f-r-tangentielle-gegenst-cke]`_`f

• `F0af`_`[Spezialfälle und Verallgemeinerungen`#spezialf-lle-und-verallgemeinerungen]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Referenzen`#referenzen]`_`f

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>>Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

χ χ ν ν ( z ) = ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν ν . {\\displaystyle \\chi _{\\nu }(z)=\\sum _{k=0}^{\\infty }{\\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\\nu }}}.}

Sie lässt sich auch mit dem `F33f`_`[Polylogarithmus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Polylogarithmus]`_`f L i ν ν ( z ) {\\displaystyle \\mathrm {Li} _{\\nu }(z)} ausdrücken:

χ χ ν ν ( z ) = 1 2 [ Li ν ν ⁡ ⁡ ( z ) − − Li ν ν ⁡ ⁡ ( − − z ) ] {\\displaystyle \\chi _{\\nu }(z)={\\frac {1}{2}}\\left[\\operatorname {Li} _{\\nu }(z)-\\operatorname {Li} _{\\nu }(-z)\\right]}

χ χ ν ν ( z ) = Li ν ν ⁡ ⁡ ( z ) − − 1 2 ν ν Li ν ν ⁡ ⁡ ( z 2 ) {\\displaystyle \\chi _{\\nu }(z)=\\operatorname {Li} _{\\nu }(z)-{\\frac {1}{2^{\\nu }}}\\operatorname {Li} _{\\nu }(z^{2})}

Funktion für `*v`* = 2:

χ χ 2 ( x ) = ∑ ∑ k = 0 ∞ ∞ x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 {\\displaystyle \\chi _{2}(x)=\\sum _{k=0}^{\\infty }{\\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

χ χ 2 ( x ) = ∫ ∫ 0 1 artanh ⁡ ⁡ ( x y ) y d y {\\displaystyle \\chi _{2}(x)=\\int _{0}^{1}{\\frac {\\operatorname {artanh} (xy)}{y}}\\,\\mathrm {d} y}

χ χ 2 ( x ) = ∫ ∫ 0 1 arcsin ⁡ ⁡ ( x y ) 1 − − y 2 d y {\\displaystyle \\chi _{2}(x)=\\int _{0}^{1}{\\frac {\\operatorname {arcsin} (xy)}{\\sqrt {1-y^{2}}}}\\,\\mathrm {d} y}

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

d d x χ χ 2 ( x ) = artanh ⁡ ⁡ ( x ) x {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} x}}\\chi _{2}(x)={\\frac {\\operatorname {artanh} (x)}{x}}}

>>Spezielle Werte

>>>Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins

Es gilt folgende Ableitung:

d d y 1 x [ artanh ⁡ ⁡ ( x ) − − artanh ⁡ ⁡ ( x 1 − − y 2 1 − − x 2 y 2 ) ] = y ( 1 − − x 2 y 2 ) ( 1 − − y 2 ) {\\displaystyle {\\frac {\\mathrm {d} }{\\mathrm {d} y}}\\,{\\frac {1}{x}}{\\biggl [}\\operatorname {artanh} (x)-\\operatorname {artanh} {\\biggl (}{\\frac {x\\,{\\sqrt {1-y^{2}}}}{\\sqrt {1-x^{2}y^{2}}}}{\\biggr )}{\\biggr ]}={\\frac {y}{\\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}}

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

1 x artanh ⁡ ⁡ ( x ) = ∫ ∫ 0 1 y ( 1 − − x 2 y 2 ) ( 1 − − y 2 ) d y {\\displaystyle {\\frac {1}{x}}\\operatorname {artanh} (x)=\\int _{0}^{1}{\\frac {y}{\\sqrt {(1-x^{2}y^{2})(1-y^{2})}}}\\,\\mathrm {d} y}

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

χ χ 2 ( x ) = ∫ ∫ 0 1 arcsin ⁡ ⁡ ( x y ) 1 − − y 2 d y {\\displaystyle \\chi _{2}(x)=\\int _{0}^{1}{\\frac {\\operatorname {arcsin} (xy)}{\\sqrt {1-y^{2}}}}\\,\\mathrm {d} y}

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert x = 1 {\\displaystyle x=1} in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

χ χ 2 ( 1 ) = ∫ ∫ 0 1 arcsin ⁡ ⁡ ( y ) 1 − − y 2 d y = [ 1 2 arcsin ⁡ ⁡ ( y ) 2 ] y = 0 y = 1 = π π 2 8 {\\displaystyle \\chi _{2}(1)=\\int _{0}^{1}{\\frac {\\operatorname {arcsin} (y)}{\\sqrt {1-y^{2}}}}\\,\\mathrm {d} y={\\biggl [}{\\frac {1}{2}}\\arcsin(y)^{2}{\\biggr ]}_{y=0}^{y=1}={\\frac {\\pi ^{2}}{8}}}

>>>Theorem für tangentielle Gegenstücke

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

χ χ 2 ( x ) + χ χ 2 ( 1 − − x 1 + x ) = π π 2 8 − − 2 artanh ⁡ ⁡ ( x ) artanh ⁡ ⁡ ( 1 − − x 1 + x ) {\\displaystyle \\chi _{2}(x)+\\chi _{2}{\\bigl (}{\\frac {1-x}{1+x}}{\\bigr )}={\\frac {\\pi ^{2}}{8}}-2\\operatorname {artanh} (x)\\operatorname {artanh} {\\bigl (}{\\frac {1-x}{1+x}}{\\bigr )}}

Beispielsweise gilt:

χ χ 2 ( 1 2 ) + χ χ 2 ( 1 3 ) = π π 2 8 − − 2 artanh ⁡ ⁡ ( 1 2 ) artanh ⁡ ⁡ ( 1 3 ) {\\displaystyle \\chi _{2}{\\bigl (}{\\frac {1}{2}}{\\bigr )}+\\chi _{2}{\\bigl (}{\\frac {1}{3}}{\\bigr )}={\\frac {\\pi ^{2}}{8}}-2\\operatorname {artanh} {\\bigl (}{\\frac {1}{2}}{\\bigr )}\\operatorname {artanh} {\\bigl (}{\\frac {1}{3}}{\\bigr )}}

Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des `F33f`_`[Dilogarithmus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dilogarithmus]`_`f können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

χ χ 2 ( i ) = i ⋅ ⋅ G χ χ 2 ( 2 − − 1 ) = 1 16 π π 2 − − 1 4 [ ln ⁡ ⁡ ( 2 + 1 ) ] 2 χ χ 2 ( Φ Φ − − 1 ) = 1 12 π π 2 − − 3 4 [ ln ⁡ ⁡ ( Φ Φ ) ] 2 χ χ 2 ( Φ Φ − − 3 ) = 1 24 π π 2 − − 3 4 [ ln ⁡ ⁡ ( Φ Φ ) ] 2 χ χ 2 ( − − 1 ) = − − 1 8 π π 2 χ χ 2 ( 1 ) = 1 8 π π 2 {\\displaystyle {\\begin{matrix}\\chi _{2}(\\mathrm {i} )&=&\\mathrm {i} \\cdot G\\\\\\chi _{2}({\\sqrt {2}}-1)&=&{\\frac {1}{16}}\\pi ^{2}-{\\frac {1}{4}}{\\bigl [}\\ln({\\sqrt {2}}+1){\\bigr ]}^{2}\\\\\\chi _{2}(\\Phi ^{-1})&=&{\\frac {1}{12}}\\pi ^{2}-{\\frac {3}{4}}{\\bigl [}\\ln(\\Phi ){\\bigr ]}^{2}\\\\\\chi _{2}(\\Phi ^{-3})&=&{\\frac {1}{24}}\\pi ^{2}-{\\frac {3}{4}}{\\bigl [}\\ln(\\Phi ){\\bigr ]}^{2}\\\\\\chi _{2}(-1)&=&-{\\frac {1}{8}}\\pi ^{2}\\\\\\chi _{2}(1)&=&{\\frac {1}{8}}\\pi ^{2}\\end{matrix}}}

mit der `F33f`_`[imaginären Einheit i {\displaystyle {\rm {i}}}`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Imaginäre_Einheit]`_`f, der `F33f`_`[Goldenen Zahl`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Goldener_Schnitt]`_`f Φ Φ = ( 5 + 1 ) / 2 {\\displaystyle \\Phi =({\\sqrt {5}}+1)/2} und der `F33f`_`[catalanschen Konstanten G {\displaystyle G}`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Catalansche_Konstante]`_`f.

>>Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die `F33f`_`[Dirichletsche Lambda-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirichletsche_Lambdafunktion]`_`f λ λ {\\displaystyle \\lambda }

λ λ ( n ) = χ χ n ( 1 ) {\\displaystyle \\lambda (n)=\\chi _{n}(1)\\,}

und die `F33f`_`[dirichletsche Beta-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Dirichletsche_Beta-Funktion]`_`f β β {\\displaystyle \\beta } :

β β ( n ) = 1 i χ χ n ( i ) . {\\displaystyle \\beta (n)={\\frac {1}{\\rm {i}}}\\chi _{n}(\\mathrm {i} ).}

Die transzendente `F33f`_`[lerchsche Zeta-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lerchsche_Zeta-Funktion]`_`f verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

χ χ n ( z ) = 2 − − n z Φ Φ ( z 2 , n , 1 2 ) . {\\displaystyle \\chi _{n}(z)=2^{-n}z\\,\\Phi (z^{2},n,{\\tfrac {1}{2}}).}

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Hurwitzsche Zeta-Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hurwitzsche_Zeta-Funktion]`_`f

>>Referenzen

• `F33f`_`[Eric W. Weisstein`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eric_Weisstein]`_`f: `*Legendre's Chi Function`*. In: `*`F33f`_`[MathWorld`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=MathWorld]`_`f`* (englisch).

• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. `!68`! (1999), 1623–1630.

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